Question

18．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2$\sqrt{2}$cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，
（1）试写出直线l左边部分的面积f（x）关于x的函数．
（2）已知A={x|f（x）＜4}，B={x|a-2＜x＜a+2}，若A∪B=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以通过分类讨论明确图形的特征，再根据图形形状求出函数的解析式；
（2）利用函数的解析式求出集合A，再根据A∪B=B得到A⊆B，得$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥3}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：过点A．D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
∵ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=2$\sqrt{2}$cm，
∴BG=AG=DH=HC=2cm，
又∵BC=7cm，
∴AD=GH=3cm，
①当点F在BG上时，
即x∈（0，2]时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²；
②当点F在GH上时，
即x∈（2，5]时，f（x）=2+（x-2）-2=2x-2．
③当点F在HC上时，
即x∈（5，7）时，y=S_{五边形ABFED}=S_梯形ACD-S_三角形CEF
f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-7）²+10，
∴函数解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}，0＜x≤2}\\{2x-2，2＜x≤5}\\{-\frac{1}{2}（x-7）^{2}+10，5＜x≤7}\end{array}\right.$      
（2）A={x|f（x）＜4}，
当0＜x≤2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²＜4，解得0＜x≤2，
当x∈（2，5]时，f（x）=2x-2＜4，解得2＜x＜3，
当x∈（5，7）时，f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-7）²+10＜4，此时解集为空集，
综上所述A=（0，3），
B={x|a-2＜x＜a+2}，A∪B=B
∴A⊆B，得$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥3}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，
∴a的取值范围为[1，2]．

点评 本题考查了函数的解析式、以及函数的值域，和集合和集合的关系，属于中档题．