Question

已知函数f(x)＝aln(1＋e^x)－(a＋1)x(其中a>0)，点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))，C(x₃，f(x₃))从左到右依次是函数y＝f(x)图象上三点，且2x₂＝x₁＋x₃.

(1)证明：函数f(x)在R上是减函数；

(2)求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

证明：(1)因为f(x)＝aln(1＋e^x)－(a＋1)x，所以f′(x)＝－(a＋1)＝<0恒成立，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数．

(2)据题意A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))，C(x₃，f(x₃))且x₁<x₂<x₃，由(1)知f(x₁)>f(x₂)>f(x₃)，x₂＝.所以＝(x₁－x₂，f(x₁)－f(x₂))，＝(x₃－x₂，f(x₃)－f(x₂))，所以＝(x₁－x₂)·(x₃－x₂)＋[f(x₁)－f(x₂)]·[f(x₃)－f(x₂)]．

又x₁－x₂<0，x₃－x₂>0，f(x₁)－f(x₂)>0，f(x₃)－f(x₂)<0，所以＝(x₁－x₂)·(x₃－x₂)＋[f(x₁)－f(x₂)]·[f(x₃)－f(x₂)]<0.

从而B∈，即△ABC是钝角三角形．