Question

8．已知函数f（x）=$\frac{x^2-ax+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈（2，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质进行求解即可．
（2）利用参数分离法结合基本不等式的性质进行求解．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=$\frac{x^2-ax+a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$-4，
∵x≥1，∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$-4≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$-4=4-4=0，
当且仅当x=$\frac{4}{x}$，即x=2时取等号，
即函数f（x）的最小值为0
（2）若对任意x∈（2，+∞），f（x）＞0恒成立，
即若对任意x∈（2，+∞），$\frac{x^2-ax+a}{x}$＞0恒成立，
即x²-ax+a＞0，
即x²＞a（x-1），
即a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，
设h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，则h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2，
∵x＞2，
∴x-1＞1，
设t=x-1，则t＞1，
则函数g（t）=t+$\frac{1}{t}$+2在（1，+∞）上为增函数，
则g（t）＞g（1）=1+1+2=4，
∴a≤4．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及构造法结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强．