Question

（本小题满分14分）
已知函数f（x）=（x²+ax-2a-3）·e^3-x （a∈R）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=（a²+）e^x（a>0），若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范围．

Answer 1

⑴，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；
当时，，此时在上为减函数；
当时，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．
⑵ a的取值范围为．

解析试题分析：⑴，令，
即所以
所以 …………………………………………………………………3分
，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；
当时，，此时在上为减函数；
当时，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． ………………………………………………………………………………6分
⑵ 当时，，则在上为增函数，在上为减函数
又
∴在上的值域为 ………………………………………8分
又在上为增函数，其值域为……10分

等价于……………………………………………12分
存在使得成立，只须
，又
∴a的取值范围为． ………………………………………………………………14分
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性，恒成立问题。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”，本题最终化为最值之间故选的研究，体现考题“起点高，落点低”的特点。