Question

20．已知正四面体A₁A₂A₃A₄，点A₅，A₆，A₇，A₈，A₉，A₁₀分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值的个数为9．

Answer 1

分析 设出已知正四面体的棱长，求出四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长，每一对相对棱的中点连线得长，然后分别求i=1，j自1取到10，所得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值，同理求得i=2，j自1取到10，所得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值，…i=10，j自1取到10，所得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值，比较结果后得答案．

解答 解：∵四面体A₁A₂A₃A₄是正四面体，
∴四面体的所有棱长相等，设为a，四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长均为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
每一对相对棱的中点连线相等均为$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
当i=1，j自1取到10，所得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值有：
$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=a²，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{4}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{5}}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，
$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{7}}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{8}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{9}}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{10}}=\frac{1}{4}{a}^{2}$．
当i=2，j自1取到10时，依次求得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值，
…
i=10，j自1取到10，依次求得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值，
比较结果后得数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数值有$-{a}^{2}，-\frac{3}{4}{a}^{2}，-\frac{1}{2}{a}^{2}，-\frac{1}{4}{a}^{2}$，0，$\frac{1}{4}{a}^{2}，\frac{1}{2}{a}^{2}，\frac{3}{4}{a}^{2}，{a}^{2}$共9个．
故答案为：9．

点评 本题考查向量在几何体中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．