【题目】某商场进行抽奖促销活动,抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有“A”“B”“C”“D”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“D”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有““A”“B”“C”“D”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖.
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率;
(2)设摸球次数为,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)(2)见解析,
【解析】
(1)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C,每次摸球相互独立,每个球被摸到的概率为,由事件的相互独立性性质求,先由排列方式计算事件B的基本事件个数,再由古典概型求概率方式求,最后三等奖的情况有: “A,A,B,C”;“A,B,B,C”;“A,B,C,C”三种情况,由相互独立性求概率即可;
(2)由相互独立性计算的取值为1、2、3、4时的概率,并列出对应的分布列,进而由均值计算公式求得均值.
(1)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C,每次摸球相互独立,每个球被摸到的概率为,
则依次取到标有““A”“B”“C”“D”字的球的概率, 不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球时,前3次全排列“A”“B”“C”最后一次为“D”,再减去“一等奖”的1次,即基本事件有个,则概率
三等奖的情况有: “A,A,B,C”;“A,B,B,C”;“A,B,C,C”三种情况.
则
(2)设摸球的次数为,则的可能取值为1、2、3、4.
,,,
故取球次数的分布列为
1 | 2 | 3 | 4 | |
所以数学期望为
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【题目】发展“会员”、提供优惠,成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式.某连锁店为了吸引会员,在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动.抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动:“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会.抽奖机如图:抽奖者第一次按下抽奖键,在正四面体的顶点出现一个小球,再次按下抽奖键,小球以相等的可能移向邻近的顶点之一,再次按下抽奖键,小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器,小球在某点时,该点等可能发红光或蓝光,若出现红光则获得2个单位现金,若出现蓝光则获得3个单位现金.
(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列;
(2)表示第次按下抽奖键,小球出现在点处的概率.
①求,,,的值;
②写出与关系式,并说明理由.
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【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
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【题目】某生物研究所为研发一种新疫苗,在200只小白鼠身上进行科研对比实验,得到如下统计数据:
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射疫苗 | 30 | ||
注射疫苗 | 70 | ||
总计 | 100 | 100 | 200 |
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.
(Ⅰ)能否有的把握认为注射此种疫苗有效?
(Ⅱ)在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中,分别抽取3只进行病例分析,然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗情况进行核实,求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.
附:,,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知函数f(x)sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,则f()的值为( )
A.﹣1B.1C..D.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)当a=2时,求证:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若关于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病.而今年初出现并在全球蔓延的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.
某药物研究所为筛查该种病毒,需要检验血液是否为阳性,现有(,且)份血液样本,每个样本取到的可能性相等,有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验则需要检验次;
方式二:混合检验,将份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,则这份的血液全为阴性,因而这份血液样本只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,就要对这份再逐份检验,此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.
(1)假设有6份血液样本,其中只有2份样本为阳性,从中任取3份样本进行医学研究,求至少有1份为阳性样本的概率;
(2)假设将(且)份血液样本进行检验,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为;
①运用概率统计的知识,若,试求关于的函数关系式;
②若与干扰素计量相关,其中数列满足,当时,试讨论采用何种检验方式更好?
参考数据:.
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