Question

9．设函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}$+$\frac{mx}{{e}^{x}}$，m∈R．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，确定m的值，并求此时曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在[2，+∞）上为减函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由极值的定义可得f′（0）=0，求得m=0；再由导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，求得切线的方程；
（2）由题意可得f′（x）=$\frac{（4-m）x+m-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$≤0在x≥2上恒成立，即为m≥$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$，令x-1=t（t≥1），即有h（x）=$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$，运用换元法令x-1=t，运用单调性可得h（x）的最大值，由恒成立思想，即可得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}$+$\frac{mx}{{e}^{x}}$的导数为
f′（x）=$\frac{（4-m）x+m-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，
即有m=0；
由f′（x）=$\frac{4x-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=0，
切点为（2，$\frac{8}{{e}^{2}}$），
可得切线的方程为y=$\frac{8}{{e}^{2}}$；
（2）由f（x）在[2，+∞）上为减函数，可得
f′（x）=$\frac{（4-m）x+m-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$≤0在x≥2上恒成立，
即为m≥$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$，令x-1=t（t≥1），
即有h（x）=$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{4（t+1）-2（t+1）^{2}}{t}$=2（$\frac{1}{t}$-t），
可得2（$\frac{1}{t}$-t）在t≥1上递减，即有t=1，即x=2时，2（$\frac{1}{t}$-t）取得最大值0．
则m≥0．即m的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和判断单调性、极值，考查分离参数和构造函数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题．