Question

2．如图，AB是半圆O的直径，P是半圆$\widehat{AB}$上的任意一点，M、N是AB上关于O点对称的两点，若|AB|=6，|MN|=4，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 13

Answer 1

分析 以O为原点建立坐标系，设P（3cosθ，3sinθ），求出$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐标，从而得出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$．

解答 解：以O为原点，以AB为x轴，过O的AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∵|AB|=6，∴圆O的半径为3．不妨设P（3cosθ，3sinθ），
∵|MN|=4，∴M（-2，0），N（2，0）．
∴$\overrightarrow{PM}$=（-2-3cosθ，-3sinθ），$\overrightarrow{PN}$=（2-3cosθ，-3sinθ）．
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（-2-3cosθ）（2-3cosθ）+9sin²θ=9cos²θ-4+9sin²θ=5．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积运算，属于中档题．