Question

11．如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，
（1）证明EH∥平面BCD
（2）求证：AB∥平面EFGH，
（3）若AB=6，CD=9，求四边形EFGH周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用平行四边形的性质和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用平行四边形的性质和线面平行的判定定理，可得EF∥平面ABD，再由线面平行的性质定理，可得EF∥AB，由线面平行的判定定理，即可得证；
（3）设EH=x，EF=y，运用平行线分线段成比例，可得$\frac{x}{9}$+$\frac{y}{6}$=1，即有y=6（1-$\frac{x}{9}$），且0＜x＜9，可得四边形EFGH的周长为l=2（x+y）=2[x+6（1-$\frac{x}{9}$）]=12+$\frac{2x}{3}$，即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：∵截面EFGH是平行四边形，∴EH∥GF，
∵EH?平面BCD，FG?平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG；
∵EF?平面ABD，HG?平面ABD，
∴EF∥平面ABD；
又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，
∴EF∥AB；
又∵EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH；
（2）设EH=x，EF=y，
∵EH∥CD，EF∥AB，
∴$\frac{EH}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{EH}{CD}$+$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$+$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AC}$=1，
又∵AB=6，CD=9，∴$\frac{x}{9}$+$\frac{y}{6}$=1，
∴y=6（1-$\frac{x}{9}$），且0＜x＜9，
∴四边形EFGH的周长为
l=2（x+y）=2[x+6（1-$\frac{x}{9}$）]=12+$\frac{2x}{3}$，
∴12＜12+$\frac{2x}{3}$＜18．
∴四边形EFGH周长的取值范围是（12，18）．

点评 本题考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，注意定理的条件和结论的运用，考查四边形周长的取值范围，注意运用平行线分线段成比例，考查推理能力，属于中档题．