Question

对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[-3.6]=-4，关于函数f（x）=[

x+1

3

-[

x

3

]]，有下列命题：
①f（x）是周期函数；
②f（x）是偶函数；
③函数f（x）的值域为{0，1}；
④函数g（x）=f（x）-cosπx在区间（0，π）内有两个不同的零点，
其中正确的命题为

 

（把正确答案的序号填在横线上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）的表达式，结合函数的周期性，奇偶性和值域分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：∵f（x+3）=[

x+4

3

-[

x+3

3

]]=[

x+1

3

+1-[

x

3

+1]]=f（x），∴f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故①正确．
f（x）=[

x+1

3

-[

x

3

]]=

0， x∈[0，2) 1， x∈[2，3)

，结合函数的周期性可得函数的值域为{0，1}，则函数不是偶函数，故②错，③正确．
f（x）=[

x+1

3

-[

x

3

]]=

0， x∈[0，2)∪[3，π) 1， x∈[2，3)

，故g（x）=f（x）-cosπx在区间（0，π）内有3个不同的零点

1

2

，

3

2

，2，故④错误．
则正确的命题是①③，
故答案为：①③

点评：本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，正确理解函数f（x）的意义是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．