Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (t为参数)，直线的参数方程为 (为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线

(1)写出的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x-2）①与x=-2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4；

(2)将l的极坐标方程与曲线C的极坐标方程联立，可得关于θ的方程，解得tanθ，即可求得l与C的交点M的极径为ρ．

(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝ (x＋2)． 设P(x，y)，由题设得

消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，

联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l与C的交点M的极径为.