Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边已知a=

3

，b=

2

，1+2cos（B+C）=0．
（1）求cosA的值；
（2）求这个三角形的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用诱导公式化简，即可求出cosA的值；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵1+2cos（B+C）=0，且cosA=-cos（B+C），
∴cosA=

1

2

；
（2）∵cosA=

1

2

，且A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即3=2+c²-

2

c，
解得：c=

2 + 6

2

（负值舍去），
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2 + 6

2

×

2

×

3

2

=

3 +3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．