Question

【题目】在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.

(1)求证:平面;

(2)若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）要证明线面平行，需先证明面面平行，取的中点，连接，证明平面平面；

（2）分别取和的中点，连，由条件可证明三条线两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求值.

(1)证明:取的中点，连接，

因为分别为和的中点，四边形为正方形，

所以，

因为平面平面，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面.

(2)因为平面平面，平面平面

平面

所以平面，

所以，

因为，

所以就是直线与所成的角，

所以，

设，

分别取和的中点，连，

因为，

所以，

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面

如图，建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设是平面的一个法向量，则

取，则，所以

是平面的一个法向量，

所以，

所以所求二面角的大小为