Question

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，$AB=AD=\frac{1}{2}CD$．
（Ⅰ）求证：CC₁⊥BD； 
（Ⅱ）求证：平面BCC₁⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）在线段C₁D₁上是否存在一点P，使AP∥平面BDC₁．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CC₁⊥底面ABCD，然后证明CC₁⊥BD．
（Ⅱ）证明BD⊥BC．推出BD⊥平面BCC₁．利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCC₁⊥平面BDC₁．
（Ⅲ）取线段C₁D₁的中点为点P，连结AP，证明四边形ABC₁P是平行四边形．得到AP∥BC₁．证明AP∥平面BDC₁．
说明在线段C₁D₁上存在一点P，使AP∥平面BDC₁，且点P是C₁D₁的中点．

解答 （本小题14分）
证明：（Ⅰ）因为AA₁⊥底面ABCD，所以CC₁⊥底面ABCD，
因为BD⊆底面ABCD，
所以CC₁⊥BD．…（4分）
（Ⅱ）因为底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，$AB=AD=\frac{1}{2}CD$．
所以不妨设AB=1，所以AD=1，CD=2．
所以$BD=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$．
所以在△BCD中，BD²+BC²=CD²．
所以∠CBD=90°．
所以BD⊥BC．
又因为CC₁⊥BD．所以BD⊥平面BCC₁．
因为BD⊆平面BDC₁，
所以平面BCC₁⊥平面BDC₁．…（9分）
（Ⅲ）取线段C₁D₁的中点为点P，连结AP，
所以C₁P∥CD，且${C_1}P=\frac{1}{2}CD$．
因为AB∥DC，$AB=\frac{1}{2}CD$．
所以C₁P∥AB，且C₁P=AB．
所以四边形ABC₁P是平行四边形．
所以AP∥BC₁．
又因为BC₁⊆平面BDC₁，AP?平面BDC₁，
所以AP∥平面BDC₁．
所以在线段C₁D₁上存在一点P，使AP∥平面BDC₁，且点P是C₁D₁的中点．…（14分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判断方法，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查逻辑推理能力．