Question

3．求函数y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$（x＞-1）的最小值．

Answer 1

分析 x＞-1，可得x+1＞0．变形函数y=$\frac{（x+1）^{2}+5（x+1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴函数y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}+5（x+1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$+5=4+5=9，
当且仅当x+1=2，即x=1时取等号．
∴函数y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$（x＞-1）的最小值为9．

点评 本题考查了函数的最小值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．