Question

已知数列{a_n}有a₂=P（常数P＞0），其前N项和为S_n，满足S_n=

n(an-a1)

2

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的首项a₁，并判断{a_n}是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；
（ 2）令P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，T_n是数列{P_n}的前n项和，求证：T_n-2n＜3．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）先利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出数列的递推关系式（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，再通过一步步代换求出数列的通项公式，最后看是否满足等差数列的定义即可证明结论．
（2）先对数列的通项整理得P_n=2+2（

1

n

-

1

n+2

），再利用裂项求和法求数列{P_n}的前n项和T_n，易作出判断；

解答： （1）解：由S₁=a₁=

a1-a1

2

=0，得a₁=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

n-1

2

an-1，
故（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
故当n＞2时，a_n=

n-1

n-2

an-1=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

…

4

3

•

3

2

•

2

1

•a₂=（n-1）p，
由于n=2时a₂=p，n=1时a₁=0，也适合该式，
故对一切正整数n，a_n=（n-1）p，
a_n+1-a_n=p，
由于p是常数，故数列{a_n}为等差数列．
a_n=（n-1）p；
（2）证明：S_n=

n(an-a1)

2

=

n(n-1)p

2

，
P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2n+2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∴T_n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3．

点评：本题主要考查数列的求和以及数列的递推关系式的应用和数列与不等式的综合，是对知识的综合考查，属于中档题．