Question

已知单位向量

m

和

n

的夹角为60°，
（1）试判断2

n

-

m

与

m

的关系并证明；
（2）求

n

在

n

+

m

方向上的投影．

Answer 1

考点：平面向量数量积的含义与物理意义,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）由（2

n

-

m

）与

m

的数量积为0，能证明2

n

-

m

与

m

垂直；
（2）根据向量向量的数量积以及投影的定义，计算

n

在

n

+

m

方向上的投影|

n

|cosθ即可．

解答： 解：（1）2

n

-

m

与

m

垂直，证明如下：
∵

m

和

n

是单位向量，且夹角为60°，
∴（2

n

-

m

）•

m

=2

n

•

m

-

m

2=2×1×1×cos60°-1²=0，
∴2

n

-

m

与

m

垂直．
（2）设

n

与

n

+

m

所成的角为θ，
则

n

在

n

+

m

方向上的投影为
|

n

|cosθ=|

n

|×

n •( n + m )

| n |×| n + m |

=

n 2+ n • m

| n + m |

=

12+1×1×cos60°

12+2×1×1×cos60°+12

=

3 2

3

=

3

2

．

点评：本题考查了平面向量的数量积以及向量在另一向量上的投影问题，是基础题．