设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大
.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.
(1) y2=2x (2) BD=2,即弦长BD为定值 (3)8
解析解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-
为准线的抛物线,其方程为y2=2x.
(2)是定值.解法如下:设圆心M,
半径r=,
圆的方程为+(y-a)2=a2+
,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦长BD为定值.
(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),
由得k2x2-(k2+2)x+
=0,
∴x1+x2=1+,x1x2=
,
∴|GH|=·
=2+
,
同理得|RS|=2+2k2.
S四边形GRHS=(2+2k2)=
2≥8(当且仅当k=±1时取等号).
∴四边形GRHS面积的最小值为8.
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已知是椭圆
的两个焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,且
,⊙
是以
为直径的圆,直线
:
与⊙
相切,并且与椭圆交于不同的两点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当,且满足
时,求弦长
的取值范围.
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设,
分别是椭圆
:
的左、右焦点,过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围;
(3)作直线与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
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如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
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已知椭圆M:=1(a>b>0)的短半轴长b=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设直线l:x=my+t与椭圆M交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求t的值.
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已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.
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已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-
).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·
=0.
(3)求△F1MF2的面积.
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设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是Q,点M,试判断|PM|+|PQ|是否存在最小值,若存在,求出其最小值,若不存在,请说明理由;
(3)过抛物线焦点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于A,C,B,D,求四边形ABCD面积的最小值.
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