Question

已知实数x，y满足x²+y²=2x，则x²y²的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由x²+y²=2x，得y²=2x-x²≥0⇒0≤x≤2，x²y²=2x³-x⁴，构造函数f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），利用导数法可求得函数的单调区间与极值，从而可求其值域．

解答： 解：由x²+y²=2x，得y²=2x-x²≥0，
∴0≤x≤2，x²y²=x²（2x-x²）=2x³-x⁴．
设f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），
则f′（x）=6x²-4x³=2x²（3-2x），
当0＜x＜

3

2

时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，

3

2

）上单调递增；
当

3

2

＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（

3

2

，2）上单调递减，
∴当x=

3

2

时，函数取得极大值，也是最大值，f（

3

2

）=

27

16

，
当x=0、x=2时，f（x）=0，
∴函数f（x）的值域为[0，

27

16

]，
即0≤x²y²≤

27

16

．
故答案为：[0，

27

16

]．

点评：本题考查函数的单调性与极值，考查构造函数思想与导数法的应用，着重考查化归思想与创新思维，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．