Question

已知圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长是3，P圆O上的任意一点，则

AB

•

AP

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得AC=

1

2

AB=

3

2

．可得cos∠OAB．利用向量的三角形法则

AB

•

AP

=

AB

•(

OP

-

OA

)=

AB

•

OP

-

AB

•

OA

即可得出．

解答： 解：如图所示，连接OA，OB．
过点O作OC⊥AB，垂足为C．
则AC=

1

2

AB=

3

2

．
∴cos∠OAB=

AC

OA

=

3 2

2

=

3

4

．

AB

•

AP

=

AB

•(

OP

-

OA

)=

AB

•

OP

-

AB

•

OA

=|

AB

| |

OP

|cos＜

AB

，

OP

＞+3×2cos∠OAB
≤3×2×1+3×2×

3

4

=

21

2

．
当且仅当

OP

∥

AB

且同向时取等号．
∴

AB

•

AP

的最大值为

21

2

故答案为：

21

2

．

点评：本题考查了向量的数量积运算、垂径定理、向量共线定理，属于中档题．