Question

19．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{C}_{R}Q}\end{array}\right.$，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：①对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；②对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③对任意x₁∈R，都有x₂∈Q，f（x₁+x₂ ）=f（x₁）；④对任意a，b∈（-∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}．其中所有真命题的序号是（　　）

• A． ①④
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据狄利克雷函数，分别讨论当x∈Q和x∈∁_RQ时，对应命题是否成立即可．

解答 解：①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，
当x∈∁_RQ，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，
②当x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=1，f（x）=1，此时f（-x）=f（x），
当x∈∁_RQ，则-x∈∁_RQ，则f（-x）=0，f（x）=0，此时f（-x）=f（x），
即恒有f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，
③当x₁∈Q，有x₂∈Q，则x₁+x₂∈Q，此时f（x₁+x₂ ）=f（x₁）=1；
当x₁∈∁_RQ，有x₂∈Q，则x₁+x₂∈∁_RQ，此时f（x₁+x₂ ）=f（x₁）=0；
综上恒有f（x₁+x₂ ）=f（x₁）成立，故③正确，
④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}=R，故④正确，
故正确的命题是①③④，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及新定义，正确理解狄利克雷函数的分段函数意义是解决本题的关键．