Question

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a、b∈R，a＞b＞e，（其中e是自然对数的底数），求证：b^a＞a^b．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）要证：b^a＞a^b只要证：alnb＞blna，只要证$\frac{lnb}{b}＞\frac{lna}{a}$，由（1）得函数$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是单调递减，即可得出结论．

解答 （1）解：$f（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{lnx}{x}$，∴$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{1-lnx}{x^2}$
∴当x＞e时，$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）＜0$，∴函数$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是单调递减．
当0＜x＜e时，$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）＞0$，∴函数$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在（0，e）上是单调递增．
∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$．…（6分）
（2）证明：∵b^a＞0，a^b＞0
∴要证：b^a＞a^b只要证：alnb＞blna
只要证$\frac{lnb}{b}＞\frac{lna}{a}$．（∵a＞b＞e）
由（1）得函数$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是单调递减．
∴当a＞b＞e时，有$f（\begin{array}{l}b\end{array}）＞f（\begin{array}{l}a\end{array}）$即$\frac{lnb}{b}＞\frac{lna}{a}$．
∴b^a＞a^b…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．