Question

8．已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足$\frac{{y}_{n}}{lo{g}_{a}{x}_{n}}$=2（a＞0，a≠1）．设y₃=18，y₆=12．
（1）证明{y_n}为等差数列；
（2）求数列{y_n}的前n项和的最大值？

Answer 1

分析 （1）根据等差数列与等比数列的定义，利用对数的性质，即可证明数列{y_n}是等差数列；
（2）利用等差数列的通项公式或前n项和公式，即可求出n为何值时，前n项和S_n取得最大值．

解答 解：（1）等比数列{x_n}中，x_n≠1，且x_n＞0，
数列{y_n}满足$\frac{{y}_{n}}{lo{g}_{a}{x}_{n}}$=2（a＞0，a≠1），
∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1；
∴y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）
=2log_a$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$
=2log_aq为常数，
∴数列{y_n}是等差数列；
（2）在等差数列{y_n}中，y₃=18，y₆=12，
∴y₆-y₃=3d=-6，
∴公差d=-2；
∴首项y₁=y₃-2d=18-2×（-2）=22，
∴通项公式为y_n=22+（n-1）•（-2）=24-2n，
其前n项和为S_n=n•22+$\frac{1}{2}$n（n-1）•（-2）=-n²+23n；
∴当n=11.5，即n=11或n═12时，
其前n项和S_n取得最大值，是
S₁₁=S₁₂=$\frac{12×（22+0）}{2}$=132．

点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了等差与等比数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．