Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且满足a_n+1=（p-1）S_n+2，其中常数p＞1．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若p=4，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{n}lo{g}_{2}（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n+1=（p-1）S_n+2与a_n=（p-1）S_n-1+2作差、整理可知a_n+1=pa_n，进而可知数列{a_n}是以2为首项、p为公比的等比数列；
（Ⅱ）通过（I）及p=4计算可知a_n=2^2n-1，利用指数的运算性质可知a₁a₂…a_n=${2}^{{n}^{2}}$，通过对数的性质可知b_n=n．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=（p-1）S_n+2，
∴a_n=（p-1）S_n-1+2，
两式相减得：a_n+1-a_n=（p-1）a_n，
整理得：a_n+1=pa_n，
又∵a₁=2，p＞1，
∴数列{a_n}是以2为首项、p为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（I）可知a_n=2•p^n-1，
又∵p=4，
∴a_n=2•4^n-1=2•2^2n-2=2^2n-1，
∵a₁a₂…a_n=2¹•2³•…•2^2n-1
=2^{1+3+…+（2n-1）}
=${2}^{\frac{n（1+2n-1）}{2}}$
=${2}^{{n}^{2}}$，
∴b_n=$\frac{1}{n}lo{g}_{2}（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）$
=$\frac{1}{n}$$lo{g}_{2}{2}^{{n}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}}{n}$
=n．

点评 本题考查等比数列的判定及数列的通项，涉及对数的运算性质，注意解题方法的积累，属于中档题．