Question

11．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁的两个不同的动点．
①存在M，N两点，使BP⊥DQ；
②体对角线BD₁垂直平面DPQ；
③若|PQ|=1，S_△BPD∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ在平面ABCD上的正投影面积为定值；
⑤若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积随着线段PQ移动而变化；
以上命题为真命题的有①②④．

Answer 1

分析 P与A₁点重合，Q与C₁点重合，可判断①；体对角线BD₁垂直平面A₁C₁D，可判断②；求出S_△BPD的范围，可判断③；求出四面体BDPQ在平面ABCD上的正投影面积，可判断④；根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断⑤．

解答 解：当P与A₁点重合，Q与C₁点重合时，BP⊥DQ，

故①正确；
体对角线BD₁垂直平面A₁C₁D，
即体对角线BD₁垂直平面DPQ，
故②正确；
当P与A₁重合时，S_△BPD取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当Q与C₁重合时，S_△BPD取最小值$\frac{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}{2}$，
即S_△BPD∈[$\frac{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
故③错误；
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ在平面ABCD上的正投影面积为定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故④正确；
设平面A₁B₁C₁D₁两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，
高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，
故⑤错误；
故答案为：①②④

点评 本题考查的知识点是棱柱的几何特征，是空间异面直线关系，棱锥体积，投影的综合应用，难度较大．