Question

16．已知函数f（x）=x+$\frac{4a}{x}$-1，g（x）=alnx，a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上为减函数，求a的最小值；
（Ⅱ）若函数p（x）=（2-x³）•e^x（e=2.718…，e为自然对数的底数），q（x）=$\frac{g（x）}{x}$+2，对于任意的x₁，x₂∈（0，1），恒有p（x₁）＞q（x₂）成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数h（x）=f（x）-g（x），由h（x）在[1，3]上为减函数，可得h′（x）=1-$\frac{4a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≤0，即a≥$\frac{{x}^{2}}{x+4}$在[1，3]上恒成立．构造函数t（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$，利用导数求其最大值得到a的最小值；
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈（0，1），恒有p（x₁）＞q（x₂）成立，等价于对任意的x∈（0，1）都有p_min（x）＞q_max（x）成立，利用导数求得p（x）、q（x）在（0，1）上的范围，结合p_min（x）＞q_max（x）求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x+$\frac{4a}{x}$-1，g（x）=alnx，
则h（x）=f（x）-g（x）=x+$\frac{4a}{x}$-1-alnx，h′（x）=1-$\frac{4a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，
∵函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上为减函数，
∴h′（x）=1-$\frac{4a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≤0，即a≥$\frac{{x}^{2}}{x+4}$在[1，3]上恒成立．
令t（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$，则t′（x）=$\frac{{x}^{2}+8x}{（x+4）^{2}}$＞0，∴t（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$在[1，3]上为增函数，
则$t（x）_{max}=t（3）=\frac{9}{7}$．
∴a的最小值为$\frac{9}{7}$；
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈（0，1）都有p（x₁）＞q（x₂）成立，等价于对任意的x∈（0，1）都有p_min（x）＞q_max（x）成立，
当x∈（0，1）时，p′（x）=（2-3x²-x³）•e^x=-（x²+2x-2）（x+1）•e^x，
当x∈（0，$\sqrt{3}-1$）时，p′（x）＞0，当x∈（$\sqrt{3}-1$，+∞）时，p′（x）＜0，
∴p（x）在（0，1）上先增后减，由p（0）=2，p（1）=e，
则p（x）＞2；
q（x）=$\frac{g（x）}{x}$+2=$\frac{alnx}{x}+2$，q′（x）=$\frac{a-alnx}{{x}^{2}}=\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
若a＜0，q′（x）≤0，q（x）=$\frac{alnx}{x}+2$在（0，1）上单调递减，不合题意；
若a＞0，q′（x）＞0，q（x）=$\frac{alnx}{x}+2$在（0，1）上单调递增，则q（x）＜2，符合题意；
若a=0，q（x）=2，符合题意．
综上，a的范围是a≥0．

点评 本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，解决本题的关键是对问题进行恰当转化．