【题目】已知的直角顶点
在
轴上,点
,
为斜边
的中点,且
平行于
轴.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
与
的另一个交点为
.以
为直径的圆交
轴于
、
,记此圆的圆心为
,
,求
的最大值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析:(1) 设点的坐标为
,表示点D,A坐标,再根据
列方程解得点
的轨迹方程;(2)设直线
的方程为
,与抛物线方程联立,根据韦达定理以及中点坐标公式得圆心坐标,解得半径,再根据垂径定理得
,最后根据函数值域得
最小值,即
的最大值.
详解:(1)设点的坐标为
,则
的中点
的坐标为
,点
的坐标为
.
,
,
由,得
,即
,
经检验,当点运动至原点时,
与
重合,不合题意舍去.
所以,轨迹的方程为
.
(2)依题意,可知直线不与
轴重合,设直线
的方程为
,点
、
的坐标分别为
、
,圆心
的坐标为
.
由,可得
,∴
,
.
∴,∴
.
∴圆的半径
.
过圆心作
于点
,则
.
在中,
,
当,即
垂直于
轴时,
取得最小值为
,
取得最大值为
,
所以,的最大值为
.
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【题目】如图,圆心在原点,半径为R的圆交x轴正半轴于点A,P,Q是圆上的两个动点,它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动,点P沿逆时针方向每秒转,点Q沿顺时针方向每秒转
,试求P,Q出发后第五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长.
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【题目】已知、
分别是离心率为
的椭圆
:
的左、右焦点,点
是椭圆
上异于其左、右顶点的任意一点,过右焦点
作
的外角平分线
的垂线
,交
于点
,且
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若点在圆
上,且在第一象限,过
作圆
的切线交椭圆于
、
两点,问:
的周长是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,说明理由.
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【题目】养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
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【题目】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数被称为狄利克雷函数,其中
为实数集,
为有理数集,则关于函数
有如下四个命题:
①;
②函数是偶函数;
③任取一个不为零的有理数对任意的
恒成立;
④存在三个点,使得
为等边三角形.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】某同学解答一道三角函数题:“已知函数,且
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间
上的最大值及相应x的值.”
该同学解答过程如下:
解答:(Ⅰ)因为,所以
.因为
,
所以.
(Ⅱ)因为,所以
.令
,则
.
画出函数在
上的图象,
由图象可知,当,即
时,函数
的最大值为
.
下表列出了某些数学知识:
任意角的概念 | 任意角的正弦、余弦、正切的定义 |
弧度制的概念 |
|
弧度与角度的互化 | 函数 |
三角函数的周期性 | 正弦函数、余弦函数在区间 |
同角三角函数的基本关系式 | 正切函数在区间 |
两角差的余弦公式 | 函数 |
两角差的正弦、正切公式 | 参数A, |
两角和的正弦、余弦、正切公式 | 二倍角的正弦、余弦、正切公式 |
请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.
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