Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，M、N分别是BB₁和B₁C₁的中点，则直线
AM与CN所成角的余弦值等于（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  2 5

  2

• C、

  2

  5

• D、

  3

  5

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与CN所成角的余弦值．

解答： 解：如图，以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，
以AC为y轴，以AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知A（0，0，0），M（

3

，1，1），
C（0，2，0），N（

3

2

，

3

2

，2），
∴

AM

=（

3

，1，1），

CN

=(

3

2

，-

1

2

，2)，
设直线AM与CN所成角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

AM

，

CN

＞|
=|

3 2 - 1 2 +2

5 • 5

|=

3

5

．
故选：D．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．