Question

5．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，F为B₁C₁的中点．
（1）求证：平面B₁A₁C⊥平面EA₁C；
（2）求二面角E-A₁C-F的大小．

Answer 1

分析 （1）连BD₁，交A₁C于O，可得O是BD₁、A₁C的中点，连EO，AD₁，则EO∥AD₁，由已知证得B₁A₁⊥AD₁，可得EO⊥B₁A₁，再证明EO⊥CA₁，利用线面垂直的判定可得EO⊥平面B₁A₁C，从而得到平面B₁A₁C⊥平面EA₁C；
（2）由F为B₁C₁ 的中点，得EC=EA₁，再由O是CA₁ 的中点，得FO⊥CA₁，结合（1）知EO⊥CA₁，可得∠EOF是二面角E-A₁C-F的平面角．然后求解三角形可得二面角E-A₁C-F的大小．

解答 （1）证明：连BD₁，交A₁C于O，∵A₁D₁∥BC，且A₁D₁=BC，
∴四边形A₁BCD₁ 是平行四边形，∴O是BD₁、A₁C的中点，连EO，AD₁，
∵E为AB的中点，∴EO∥AD₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，知B₁A₁⊥平面ADD₁A₁，且AD₁?平面ADD₁A₁，
∴B₁A₁⊥AD₁，∴EO⊥B₁A₁，
∵Rt△EAA₁≌直角Rt△EBC，∴EA₁=EC，则EO⊥CA₁，
∵B₁A₁∩CA₁=A₁，∴EO⊥平面B₁A₁C，
∵EO?平面EA₁C，∴平面B₁A₁C⊥平面EA₁C；
（2）解：∵F为B₁C₁ 的中点，∴Rt△FB₁A₁≌Rt△FC₁C，则EC=EA₁，
∵O是CA₁ 的中点，∴FO⊥CA₁，
由（1）知EO⊥CA₁，∴∠EOF是二面角E-A₁C-F的平面角．
连EF，令正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
在Rt△BB₁F中，$BF=\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}+F{{B}_{1}}^{2}}=\sqrt{5}$．
∵AB⊥平面BCC₁B₁，BF?平面BCC₁B₁，∴AB⊥BF．
∴在Rt△EBF中，EF=$\sqrt{E{B}^{2}+B{F}^{2}}=\sqrt{6}$．
∵△EA₁C≌△FA₁C，∴$EO=FO=\frac{1}{2}A{D}_{1}=\sqrt{2}$．
∴cos∠EOF=$\frac{E{O}^{2}+F{O}^{2}-E{F}^{2}}{2EO•FO}=-\frac{1}{2}$，
∴∠EOF=120°，
即二面角E-A₁C-F的大小为120°．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是解答此题的关键，是中档题．