Question

设

i

、

j

分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|

a

-

i

|+|

a

-2

j

|=

5

，则|

a

+2

i

|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设

a

=

OA

=（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．由于|BC|=

12+22

=

5

，|

a

-

i

|+|

a

-2

j

|=

5

，可知：点A在线段BC上，得到

x

1

+

y

2

=1，（x∈[0，1]）．于是|

a

+2

i

|=

(x+2)2+y2

=

5x2-4x+8

，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设

a

=

OA

=（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．
∵|BC|=

12+22

=

5

，|

a

-

i

|+|

a

-2

j

|=

5

，
∴点A在线段BC上，∴

x

1

+

y

2

=1，化为2x+y=2（x∈[0，1]）．
∴|

a

+2

i

|=

(x+2)2+y2

=

(x+2)2+(2-2x)2

=

5x2-4x+8

=

5(x- 2 5 )2+ 36 5

，
令f（x）=5(x-

2

5

)2+

36

5

，
∵x∈[0，1]，
∴当x=

2

5

时，f（x）取得最小值

36

5

，即|

a

+2

i

|取得最小值

6 5

5

．
又f（0）=2

2

，f（1）=3，2

2

＜3．
∴|

a

+2

i

|的最大值为3．
∴|

a

+2

i

|的取值范围是[

6 5

5

，3]．
故答案为：[

6 5

5

，3]．

点评：本题考查了向量的运算法则、模的几何意义、二次函数的单调性，考查了转化思想方法，属于难题．