Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0 ）的短轴为直径，以顶点为圆心与直线y=x+

6

相切，且椭圆C的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A、B是椭圆C上的点，且AB⊥x轴，M（4，0），连接直线MB交椭圆C于另一点D（不同于B点），试分析直线AD与x轴是否相交于定点？若是，求出定点坐标，若不是，请加以证明．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先根据已知条件建立等量关系，点到直线的距离，离心率和a、b、c的关系式，解方程组确定椭圆的方程．
（2）由（1）的结论利用直线和椭圆的位置关系建立等量关系式，利用韦达定理求的直线经过定点．

解答： 解：（1）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0 ）的短轴为直径，以顶点为圆心与直线y=x+

6

相切，
则：原点（0，0）到直线x-y+

6

=0的距离为b

| 6 |

2

=b=

3

①
由于椭圆C的离心率为

1

2

．
则：

c

a

=

1

2

②
a²=b²+c²③
由①②③解得：a²=4，b²=3
所以椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）根据题意知：直线BM的斜率存在，设直线方程为：y=k（x-4）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则：x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

A、B关于x轴对称，设A（x₂，-y₂）
则：直线AD的直线方程为：y-y1=

y1+y2

x2-x1

(x-x1)
令y=0得：x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

由于y₁=k（x₁-4），y_，2=k（x₂-4）
则x=

2x1x2-4(x2+x1)

x1+x2-8

=1
则：直线AD交x轴于定点（1，0）点．

点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，点到直线的距离，离心率的应用，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，定点的求法．属于中等题型．