Question

14．已知{a_n}是各项为正数的等比数列，a₁+a₂=20，a₃=64，数列{b_n}的前n项和为S_n，b_n=log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的n∈N^*，数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}为递减数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=20\\{a_1}{q^2}=64\end{array}\right.$，从而求通项公式；
（Ⅱ）化简${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}（{4^n}）=2n$，从而可得${S_n}=\frac{2+2n}{2}×n={n^2}+n$，$\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$；从而利用作差法判断为递减数列．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=20\\{a_1}{q^2}=64\end{array}\right.$，
解得q=4或$q=-\frac{4}{5}$（舍去），a₁=4；
故${a_n}=4×{4^{n-1}}={4^n}$．
（Ⅱ）证明：∵${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}（{4^n}）=2n$，
∴{b_n}是以b₁=2为首项，以2为公差的等差数列．
∴${S_n}=\frac{2+2n}{2}×n={n^2}+n$，$\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$；
∵$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{{（n+1）}^2}+（n+1）}}{{{4^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$
=$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}[{（n+1）^2}+（n+1）-4（{n^2}+n）]$
=$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}（-3{n^2}-n+2）$；
∵$\frac{-（3n-2）（n+1）}{{{4^{n+1}}}}＜0$，
∴$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}（-3{n^2}-n+2）＜0$，
∴数列 $\left\{{\frac{S_n}{a_n}}\right\}$为递减数列．

点评 本题考查了对数运算的应用及等比数列与等差数列的性质，同时考查了作差法的应用，属于中档题．