Question

2．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）$（M＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，0＜ω＜3）$图象上的一个最高点为$（\frac{2}{3}π，2）$，函数f（x）图象与y轴交点为（0，1）．
（Ⅰ）求M，ω，φ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）图象上的一个最高点为$（\frac{2}{3}π，2）$可得：M，由函数图象与y轴交点为（0，1），得$φ=\frac{π}{6}$，点$（\frac{2}{3}π，2）$在函数f（x）图象上，得$ω=3k+\frac{1}{2}$，k∈Z，即可求得ω；
（Ⅱ）由（2a-c）cosB=bcosC，得$cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{π}{3}$，由（Ⅰ）得$f（A）=2sin（\frac{1}{2}A+\frac{π}{6}）$，$A∈（0，\frac{2}{3}π）$．即可得函数f（A）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）图象上的一个最高点为$（\frac{2}{3}π，2）$可得：M=2…（2分）
∵函数图象与y轴交点为（0，1），∴f（0）=2sin（0+φ）=1，$sinφ=\frac{1}{2}$
又∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$，…（4分）
∵点$（\frac{2}{3}π，2）$在函数f（x）图象上，∴$2sin（\frac{2}{3}πω+\frac{π}{6}）=2$，$\frac{2}{3}πω+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
∴$ω=3k+\frac{1}{2}$，k∈Z，∵0＜ω＜3，∴$ω=\frac{1}{2}$…（6分）
（Ⅱ）由（2a-c）cosB=bcosC，得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，$cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{π}{3}$．…（8分）
由（Ⅰ）得：$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$∴$f（A）=2sin（\frac{1}{2}A+\frac{π}{6}）$
∵A+B+C=π∴$A∈（0，\frac{2}{3}π）$…（10分）．
∴$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$，∴$sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$．
∴函数f（A）的取值范围为（1，2）…（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象，三角恒等变形，三角函数的值域，属于中档题．