Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的正切为-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角的正切为-$\frac{1}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，由题意可得tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{1}{3}$，由两角和的正切公式，可得tanA，再由同角的基本关系式可得sinB，sinC，再由正弦定理可得AB，AC，由数量积的定义即可得到所求值．

解答 解：可设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，
由题意可得tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{1}{3}$，
则tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
即为A=135°，
又B，C为锐角，sin²B+cos²B=1，$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{1}{2}$，
可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
同理可得sinC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得$\frac{2}{sin135°}$=$\frac{|\overrightarrow{c}|}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$，
即有|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrow{a}$|•cos45°=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查向量的数量的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．