Question

当圆x²+y²=4上恰有三个点到直线l：y=x+b的距离为1，且直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，点O为坐标原点，则△ABO的面积为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  2

  2

• D、2

  2

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：由已知条件得O到直线l：y=x+b的距离d等于1，由点到直线距离公式解得b=±

2

．由此能求出△ABO的面积．

解答： 解：由圆C的方程：x²+y²=4，得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2
∵圆C上恰有3个点到直线l的距离等于1，
∴O到直线l：y=x+b的距离d等于1
直线l的一般方程为：x-y+b=0，∴d=

|b|

2

=1
解得b=±

2

．
∴直线l为y=x+

2

，或y=x-

2

．
∵直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，点O为坐标原点，
∴当直线l为y=x+

2

时，A（-

2

，0），B（0，

2

），
△ABO的面积S=

1

2

×

2

×

2

=1；
当直线l为y=x-

2

时，A（

2

，0），B（0，-

2

），
△ABO的面积S=

1

2

×

2

×

2

=1．
故选：A．

点评：本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．