Question

14．已知函数f（x）=e^x+ax²-e²x（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，1]时，总有f（x）＞xe^x-e²x+1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，可知f（2）=0，即可求得a的值，写出f（x）及f′（x）的表达式，令f′（x）=0，求得x的值，利用导数求函数的单调性；
（2）由f（x）＞xe^x-e²x+1，得（x-1）e^x-ax²+1＜0，构造辅助函数g（x）=（x-1）e^x-ax²+1，x∈[0，1]，求导，g′（x）=x（e^x-2a），讨论a的取值范围，利用函数单调性判断函数的最值，求得a的取值范围．

解答 解：（1）由f′（x）=）=e^x+2ax-e²得：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，k=4a=0，
则a=0，此时f（x）=e^x-e²x，f′（x）=）=e^x-e²，
f′（x）=0，得x=2，
当x∈（-∞，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，2）上单调递减；
当x∈（2，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）＞xe^x-e²x+1，得：（x-1）e^x-ax²+1＜0，
设g（x）=（x-1）e^x-ax²+1，x∈[0，1]，则g′（x）=x（e^x-2a），
∵x∈[0，1]，
∴1＜e^x＜e，
①当2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0，不符合要求，应舍去；
②当2a≥e，a≥$\frac{e}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，满足要求；
③当$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$，g′（x）=0，x=ln（2a），g（x）在（0，ln（2a）上单调递减，
g（x）在（ln（2a），1）上单调递增，
∵g（0）=0，g（1）=-a+1，令g（1）=-a+1≤0，得：1≤a≤$\frac{e}{2}$，
综上可知求得a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查导数的定义、性质以及在函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，属于难题．