Question

2．已知f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，由此得到最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）由正弦定理得c=2b，由最值得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理得b=4，所以由三角形面积公式得到面积．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，x∈R．
∴f（x）的最小正周期T=π．
当-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，即-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]，
（Ⅱ）∵sinC=2sinB，由正弦定理得c=2b，
∵f（x）的最大值为f（A），
即2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得b²+4b²-4b²cosA=16，
∴b=4，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式，正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，需熟记公式．