Question

【题目】已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[﹣ ,+∞）
【解析】解：x∈[2，∞），f（x）≥0，

即x3+3ax2+3x+1≥0，

即x+ + ≥﹣3a．

令g（x）=x+ + ，

则g'（x）= ，

下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，

也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

令h（x）=x3﹣3x﹣2，则h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，

∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，

∴g（x）的最小值为g（2）= ，

﹣3a≤g（2）= ，

解得a≥﹣ ，

所以答案是：[﹣ ，+∞）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．