Question

12．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）当0＜a＜1时，求证：函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（3）对于任意x₁，x₂∈[-1，1]都有，|f（x₁）-f（x₂）≤e-1，试求a的取值范围．|

Answer 1

分析 （1）求导函数，确定f′（x）＜0，故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（2）函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，
∴f（x）=t±1共有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点，即可解出t的值；
（3）问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1，即可求出a的取值范围．

解答 （1）证明：∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴求导函数，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于0＜a＜1，
∴lna＜0，当x＜0时，a^x-1＞0，
∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（2）解：由|f（x）-t|-1=0，
得：f（x）=t-1，或f（x）=t+1，
∵函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，
∴f（x）=t±1共有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
不妨取a＞1，y=f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2；
（3）问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（2）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，
f（-1）=$\frac{1}{a}$+1+lna，f（1）=a+1-lna，f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
记g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x≥1），则g′（x）=（$\frac{1}{x}$-1）2≥0（仅在x=1时取等号）
∴g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx是增函数，
∴当a＞1时，g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna＞g（1）=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，
故对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
当x≥1时，（x-lnx）′=$\frac{x-1}{x}$≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）单调递增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用导数确定函数的最值．