Question

11．已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3）
（1）求与$\overrightarrow{AB}$反向的单位向量；
（2）若$\overrightarrow{BE}$=（-2，5），求点E的坐标；
（3）若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$，求|$\overrightarrow{a}$|．

Answer 1

分析 （1）根据相反向量与单位向量的定义，即可求出结果；
（2）根据向量的坐标表示，设出点E（x，y），列方程组求解即可；
（3）求出向量$\overrightarrow{a}$的坐标，再求模长即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=（1，3），
∴与$\overrightarrow{AB}$反向的单位向量是：
-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=-（$\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\frac{3}{\sqrt{10}}$）=（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）；
（2）设E（x，y），∴$\overrightarrow{BE}$=（x-2，y-1），
又$\overrightarrow{BE}$=（-2，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=-2}\\{y-1=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标（0，6）；
（3）∵$\overrightarrow{AC}$=（2，4），$\overrightarrow{BD}$=（-4，2）；
∴$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$=（6，2），
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{6}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．