Question

6．把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．
（1）如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？
（2）如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？

Answer 1

分析 （1）一一列举分组即可到答案，
（2）三个盒子各不相同，允许空盒，分三种情况，根据分类计数原理得到结果．

解答 解：（1）可以分为（7，0，0），（1，6，0），（2，5，0），（3，4，0），（1，1，5），（1，2，4），（1，3，3），（2，2，3）8组，即为8种，
（2）7个相同的小球放入三个盒子各不相同，允许空盒，
两个空盒，有3种方法，
一个空盒，另外两个盒子有1+6=7，2+5=7，3+4=7，有3×A₃³=18，
没有空盒，共有（1，1，5），（1，2，4），（1，3，3），（2，2，3）组可以选择，
当为（1，2，4）时，共有A₃³=6种，
当为（1，1，5），（2，2，3），（1，3，3）时，共有3×C₃¹=9种，
故没有空盒时，有6+9=15，
根据分类计数原理，可得共有3+18+15=36种．

点评 本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．