Question

13．近年来郑州空气污染教委严重，县随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如表：

PM2.5	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	重度污染	中重度污染	重度污染
天数	4	15	18	30	7	11	15

记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x，当x在区间[0，100]内时，对该企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时，对该企业造成的经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时，造成的经济损失为2000元
（1）试写出S（x）的表达式
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失大于500元且不超过900元的概率
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关    附：

P（k2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	1.32	2.07	2.70	3.841	5.02	6.63	7.87	10.828

k²=$\frac{n（ac-bd）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

Answer 1

分析 （1）利用分段函数写出S（x）的解析式即可；
（2）利用经济损失函数求出满足500＜S（x）≤900的x对应的天数，计算故所求的概率值；
（3）填写列联表，计算观测值K²，对照临界值表得出结论．

解答 解：（1）当x∈[0，100]时，S（x）=0；
当x∈（100，300]时，设S（x）=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{150k+b=500}\\{200k+b=700}\end{array}\right.$，解得k=4，b=-100，
所以S（x）=4x-100；
当x＞300时，S（x）=2000；
综上，S（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，100]}\\{4x-100，x∈（100，300]}\\{2000，x∈（300，+∞）}\end{array}\right.$；
（2）根据题意，当x∈（100，300]时，
S（x）=4x-100；
令500＜4x-100≤900，
解得150＜x≤250；
在抽取的样本中，PM2.5的指数x∈（150，250]时有30+7=37（天），
故所求的概率为P=$\frac{37}{100}$=0.37；
（3）填写列联表如下：

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合计	85	15	100

根据表中数据，计算K²=$\frac{100{×（22×7-63×8）}^{2}}{30×70×85×15}$≈4.575＞3.481，
对照临界值表知，有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关．

点评 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是综合题．