Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）求函数f（x），x∈[0，π]单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期和最小值．
（2）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；x∈[0，π]时，

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
∴f（x）的最小值为-2，最小正周期为π．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$．
∴$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ，k∈Z$
∴$f（x）的单调递减区间为[{\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ}]，k∈Z$．
又∵x∈[0，π]，取交集可得$x∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．
∴函数f（x）在x∈[0，π]单调递减区间是$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．