Question

已知函数f（x）=x²-2ax+4b²，a，b∈R．
（Ⅰ）若a从集合{3，4，5}中任取一个元素，b从集合{1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（Ⅱ）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：分析：（Ⅰ）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，这是一个古典概型，设事件E为““方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，分别算出基本事件个数和事件A中包含的基本事件，最后根据概率公式即可求得事件E的概率．
（2）由已知化简集合A和B，设事件“x∈A∩B”的概率为P₁，这是一个几何概型，测度是长度，代入几何概型的计算公式即可；

解答： 解：设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a＞0，b＞0时，方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为a＞2b．
当a＞2b时，a，b取值的情况有（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），
即A包含的基本事件数为4，而基本事件总数为9．
∴方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P（A）=

4

9

；

（2）由已知a∈A=x|0＜x＜2}，b∈B=x|0＜x＜3}，（2分）
设事件“方程f（x）=0没有实根”为事件B，
当a＞0，b＞0时，方程f（x）=0没有实根的充要条件为a＜2b，
这是一个几何概型，则P（B）=

1 2 ×1.5×3

2×3

=

3

8

点评：本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．