Question

17．如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a，AB=2a，$A{A_1}=\sqrt{2}a$，E、F分别是AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFB₁D₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求证：A₁C⊥平面BDC₁．
注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P，证明D∥平面EFB₁D₁，推出MC₁∥NP，然后证明PC₁∥MN，得到PC₁∥平面EFB₁D₁，利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFB₁D₁∥平面BDC₁．
（Ⅱ）连接A₁P，说明四边形A₁C₁CP为平行四边形，证明A₁C⊥PC₁，推出BD⊥平面A₁C₁CA，得到BD⊥A₁C，然后证明A₁C⊥平面BDC₁．

解答 18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P
由题意，BD∥B₁D₁
因为BD?平面EFB₁D₁，B₁D₁?平面EFB₁D₁，所以BD∥平面EFB₁D₁…（3分）又因为A₁B₁=a，AB=2a，所以$M{C_1}=\frac{1}{2}{A_1}{C_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以$NP=\frac{1}{4}AC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
所以MC₁=NP
又因为AC∥A₁C₁，所以MC₁∥NP
所以四边形MC₁PN为平行四边形
所以PC₁∥MN
因为PC₁?平面EFB₁D₁，MN?平面EFB₁D₁，所以PC₁∥平面EFB₁D₁
因为PC₁∩BD=P，所以平面EFB₁D₁∥平面BDC₁…（6分）
（Ⅱ）连接A₁P，因为A₁C₁∥PC，A₁C₁=$PC=\sqrt{2}a$，

所以四边形A₁C₁CP为平行四边形
因为$C{C_1}=A{A_1}=PC=\sqrt{2}a$，所以四边形A₁C₁CP为菱形
所以A₁C⊥PC₁…（9分）
因为MP⊥平面ABCD，MP?平面A₁C₁CA
所以平面A₁C₁CA⊥平面ABCD，
因为BD⊥AC，所以BD⊥平面A₁C₁CA
因为A₁C?平面A₁C₁CA，所以BD⊥A₁C
因为PC₁∩BD=P，所以A₁C⊥平面BDC₁．…（12分）

点评 本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，