Question

17．已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若当m=0时，对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可；
（2）问题转化为$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$对一切x∈（0，+∞）恒成立，设$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+（1+m），
因为f（x）在（1，+∞）上为单调函数，
则方程lnx+（1+m）=0在（1，+∞）上无实根，
故1+m≥0，则m≤-1．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$对一切x∈（0，+∞）恒成立．
设$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，则$h'（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}$，
当x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
h（x）在（0，+∞）上，有唯一极小值h（1），即为最小值，
所以h（x）_min=h（1）=4，
因为对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成成立，
故a≤4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．