Question

5．已知函数$f（x）=cos（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为π，且$f（\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求w和φ的值；
（2）若$f（x）＞\frac{1}{2}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的周期公式求解w，利用函数值求解φ即可．
（2）利用不等式集合余弦函数线列车$2kπ-\frac{π}{3}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，求解即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=cos（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为π，$T=\frac{2π}{w}=π$，所以w=2，
因为$f（\frac{π}{3}）=cos（2×\frac{π}{3}+φ）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0＜φ＜\frac{π}{2}$，所以$2×\frac{π}{3}+φ=\frac{5π}{6}$，解得$φ=\frac{π}{6}$．
（2）因为$f（x）=cos（2x+\frac{π}{6}）＞\frac{1}{2}$，所以$2kπ-\frac{π}{3}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
所以$kπ-\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，所以$x∈（kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{12}），k∈Z$，

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的单调性以及函数值的求法，考查计算能力．