Question

7．已知圆C过两点M（-3，3），N（1，-5），且圆心C在直线2x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点（-2，5）且与圆C有两个不同的交点A，B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，-1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（-3，3），N（1，-5），得MN的垂直平分线方程，和已知直线联立解得圆心坐标，再由R²=|CM|²求出半径，则圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）设直线l的方程为：y-5=k（x+2）即kx-y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式结合题意求得k的取值范围；
（Ⅲ）设符合条件的直线l存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=-$\frac{1}{k}$（x-3）即：x+ky+k-3=0，由弦的垂直平分线过圆心（1，0）得k的值，即可求出符合条件的直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由M（-3，3），N（1，-5），得MN的垂直平分线方程为：x-2y-1=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得圆心坐标为C（1，0），
R²=|CM|²=（-3-1）²+（3-0）²=25．
∴圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=25；
（Ⅱ）设直线l的方程为：y-5=k（x+2）即kx-y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，
则d=$\frac{|3k+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由题意：d＜5   即：8k²-15k＞0，
∴k＜0或k＞$\frac{15}{8}$，
又∵k＞0，
∴k的取值范围是（$\frac{15}{8}$，+∞）；
（III）设符合条件的直线l存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=-$\frac{1}{k}$（x-3）即：x+ky+k-3=0，
∵弦的垂直平分线过圆心（1，0），∴k-2=0，即k=2．
∵k=2＞$\frac{15}{8}$，
故符合条件的直线存在，l的方程为：x+2y-1=0．

点评 本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．