Question

17．已知命题p：对?x∈R，都有$\sqrt{3}sinx+cosx＞m$，命题q：?x∈R，使得x²+mx+1≤0，如果“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数的化简函数的解析式，求出命题p是真命题时的m的范围；求出命题q为真命题的m的范围，然后利用复合命题的真假求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（{x+\frac{π}{6}}）∈[{-2，2}]$，∴p真时，m＜-2．
∵△=m²-4≥0，∴q真时，m≤-2或m≥2，又“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，
所以p，q一真一假，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-2}\\{-2＜m＜2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m≥-2}\\{m≤-2或m≥2}\end{array}}\right.$，
∴m=-2或m≥2．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．