Question

5．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为两平面向量，且|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°．
（1）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求证：A，B，D三点共线；
（2）若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）直线证明$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线即可得出结论；
（2）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，列方程解出λ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴$\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线，
∴A，B，D三点共线．
（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∴（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=λ${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-2λ${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+（2λ²-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
又|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°．
∴${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴λ-2λ+$\frac{1}{2}$（2λ²-1）=0，解得λ=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的共线定理，属于中档题．